Abstract: I gruppi sono oggetti fondamentali nella matematica odierna, in parte ben compresi,
in parte ancora molto oscuri. Negli ultimi anni è sempre più frequente trovare in letteratura problemi di teoria dei gruppi
formulati tramite l'utilizzo di strutture combinatorie, in particolare grafi. Solitamente ad un gruppo viene associato un grafo
che ne codifica di volta in volta le proprietà da investigare, in seguito si usano risultati di teoria dei grafi per dedurre
informazioni sul gruppo di partenza. Vedremo alcune esempi di interesse nella ricerca attuale.
Alessio Borzì (University of Warwick), "Geometria Tropicale"
Abstract: La Geometria Tropicale è uno strumento che permette di studiare alcune proprietà
delle varietà algebriche da un punto di vista combinatorio. In questa presentazione ne vedremo le
principali definizioni e accenneremo a una delle sue più importanti applicazioni a problemi di geometria enumerativa.
Alessandro Arlandini (University of Warwick), "La congettura di Bloch-Kato attraverso la teoria dei numeri"
Abstract: La congettura di Bloch-Kato fu formulata per la prima volta nel 1990 in un influente
articolo di Spencer Bloch e Kazuya Kato. Essa stabilisce un legame profondo tra due oggetti molto diversi
tra loro, entrambi legati a una rappresentazione di Galois: la funzione L e il gruppo di Selmer (di Bloch-Kato).
La congettura risulta particolarmente affascinante per la sua ampia portata e per come colleghi tra loro concetti
di varie parti della teoria dei numeri. In aggiunta, essa si basa a sua volta su risultati congetturali anche
molto importanti, sottintendendo quindi una varietà di problemi aperti e rendendo i tentativi di dimostrazione
particolarmente ostici. In questo intervento presenterò una panoramica delle idee alla base della congettura di
Bloch-Kato e, nel fare questo, cercherò di dare un assaggio della teoria dei numeri contemporanea.
Seminari Allievi
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Lorenzo Pellegrino (ISUFI), "Geometria pseudo-Riemanniana: geometria intrinseca ed estrinseca"
Abstract: Nel nostro seminario verranno illustrati alcuni concetti
fondamentali della Geometria differenziale; in particolare, dopo la premessa di alcune nozioni di base
come il pullback, la definizione di sottovarietà pseudo-Riemanniana e la connessione indotta, introdurremo
la Seconda forma fondamentale per poi evidenziare le differenze tra geometria intrinseca ed estrinseca.
A questo punto saremo in grado di costruire le curve geodetiche sulle sottovarietà e potremo affrontare
lo studio delle sottovarietà totalmente geodetiche. In una seconda sezione del seminario ci preoccuperemo
di affrontare alcune applicazioni della teoria esposta. Nello specifico ci soffermeremo sulle differenze
che intercorrono tra le varietà Riemanniane e Lorentziane e ci interesseremo di coglierne le interessanti
implicazioni nello studio della Teoria della Relatività Ristretta.
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Matteo Cavallaro (SSU), "Introduction to Descriptive Complexity Theory"
Abstract: La teoria della complessità descrittiva
collega la teoria della complessità computazionale alla teoria dei modelli finiti,
caratterizzando classi di complessità tramite logiche che permettono di esprimere le
proprietà specifiche dei linguaggi che appartengono alla data classe. Il talk verte
sul teorema di Fagin, primo risultato della teoria, che mostra quali logiche caratterizzano
le classi \mathbb{NP} e \mathbb{co-NP}, e suoi corollari, ad esempio come le classi della
gerarchia polinomiale possono essere caratterizzate tramite diversi frammenti della logica
del secondo ordine con un numero limitato di quantificatori relazionali, e conseguenze di
proprietà della logica del primo e del secondo ordine sulla teoria della complessità computazionale.
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Giacomo Colombo (SNS), "Introduzione al trasporto ottimo"
Abstract: Il problema del trasporto
ottimo ha assunto notevole importanza negli ultimi anni, anche grazie ai
contributi di A. Figalli in questo campo, che gli sono valsi la medaglia
Fields. In questo seminario introdurrò alle tecniche e metodi volti a
risolvere questo problema, nel caso particolare del costo quadratico. Se,
da un lato, la restrizione ad un caso particolare permette di semplificare
la trattazione introducendo i concetti in modo più naturale, al contempo
consente di introdurre la maggior parte delle idee utilizzate nel caso generale
e consente di dimostrare il fondamentale teorema di Brenier, centrale nella
teoria anche grazie alle sue applicazioni. Nell’ultima parte del seminario
mostrerò come con il teorema di Brenier sia possibile dare una dimostrazione
della disuguaglianza isoperimetrica, che rispetto a quelle classiche permette
di generalizzare il risultato a versioni anisotrope e quantitative.
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Gaia Carenini (IUSS), "Chen-Chvàtal Conjecture"
Abstract: A well-known combinatorial theorem
says that a set of n non-collinear points in the plane determines at least n
distinct lines. Chen and Chvàtal conjectured that this theorem extends to metric
spaces, with an appropriated definition of line. In this talk, I will present the
most recent results concerning this conjecture (that hopefully will guide us to its
solution). The results have been achieved from March by me and professor Pierre Aboulker!